学校でアルバイトが禁止されていても応募できますか？

はい、学校でアルバイトが禁止されていても未踏ジュニアに応募できます。

未踏ジュニアの開発費支援は、あくまで開発に必要な機材・ソフトウェアを購入するための予算です。労働の対価として支払われる給料ではないため、アルバイトにはあたりません。